Тема:

Математика и её применения 13 суток назад

Математик МФТИ с коллегой доказал теорему, не поддававшуюся никому более 40 лет

Гипотеза Ласло Фейеш Тота. Покрытие сферы с единичным радиусом зонами одинаковой ширины. Случай минимальной суммарной ширины зон равной π. Каждая зона обозначена уникальным цветом.
https://mipt.ru/

Читайте нас в Telegram

Александр Полянский (МФТИ, Россия) и Цзылинь Цзян (Zilin Jiang; Технион, Израиль) доказали гипотезу о покрытии сферы зонами, сформулированную венгерским математиком Ласло Фейешем Тотом ещё в 1973 году. Доказательство опубликовано в журнале Geometric and Functional Analysis.

Гипотеза Тота тесно связана с другими задачами дискретной геометрии о покрытии полосками, решёнными в XX веке. Изначально ставилась задача о покрытии круга полосками, заключёнными между параллельными прямыми, более известная как задача о дощечках.

Эта задача формулируется так. Есть круг, и его нужно полностью покрыть "дощечками". Дощечка – это участок плоскости между двумя параллельными прямыми. Образно говоря: есть круглая дырка в полу, и её нужно закрыть досками. Они могут перекрываться или не перекрываться между собой, но должны закрывать весь круг, не оставляя "щелей" и "дырок".

Понятно, что можно сразу закрыть дыру одной доской шириной с диаметр круга. Но можно ли взять такой набор дощечек и расположить их так, чтобы они покрывали круг, но их суммарная ширина оказалась меньше диаметра?

Кажется очевидным, что это невозможно. И человеку, далёкому от математики, может показаться странным, что эту банальность кому-то взбрело в голову доказывать.

Но математика – не та наука, в которой бытовая интуиция достойна доверия. Некоторые строго доказанные результаты отправляют её под стол дрожать от ужаса. Например, факт, известный как парадокс Банаха-Тарского. Шар можно разбить на несколько частей таким хитрым образом, что из них можно составить два шара того же радиуса! Выглядит шокирующе, но это не что иное как доказанная теорема.

Так что тот факт, что суммарная ширина дощечек не может быть больше диаметра, нужно было доказывать. И уже упомянутый Альфред Тарский изящно его доказал.

Банг обобщил результат Тарского. Он доказал, что то же самое верно не только для круга, но и для произвольного выпуклого тела. Напомним, что тело называется выпуклым, если для любых двух его точек соединяющий их отрезок окажется внутри этого тела. Например, круг, квадрат и треугольник – выпуклые тела, а полумесяц – нет.

То есть Банг доказал, что суммарная ширина дощечек, покрывающих выпуклое тело, не меньше ширины этого тела. Под шириной тела можно понимать минимальную ширину одной полоски, которая его полностью покрывает.

Задача, над которой работали авторы публикации, принципиально отличается от предыдущих. В ней нужно покрыть сферу особым образом (ниже мы скажем, как именно) построенными зонами.

Возьмём сферу. Поставим две параллельные друг другу плоскости (их можно представлять себе как стены – правда, не обязательно вертикальные) так, чтобы центр сферы оказался ровно посередине между ними. Часть сферы, которая окажется между этими стенами, и будем называть зоной.

Конечно, если расстояние между стенами равно диаметру сферы или больше, то зоной окажется вся сфера. Иначе – только её часть. Шириной зоны будем считать максимальную длину дуги, которая помещается в этой зоне.

Можно ввести понятие зоны и без параллельных плоскостей. Для этого назовём окружность, у которой центр и радиус совпадают с центром и радиусом сферы, большой окружностью. Её можно представлять себе как экватор сферы.

Расстоянием между двумя точками на сфере будем считать длину кратчайшей дуги на сфере, соединяющей эти точки. Такой способ введения расстояния специалисты называют геодезической метрикой.

Теперь выберем любую большую окружность и положительное число ω. Все точки, которые находятся от этой окружности на расстоянии не больше ω /2, и составят зону ширины ω.

Жёлтым цветом на сфере обозначена одна зона ширины ω.

Соответственно, требовалось доказать, что суммарная ширина зон, полностью покрывающих сферу единичного радиуса, не меньше числа "пи".

Авторы доказательства были вдохновлены идеей Банга, который доказывал свою теорему от противного. Он предположил, что внутри фигуры существует множество специального вида, одна из точек которого не покрыта дощечками. Математики МФТИ и Техниона, как и Банг, пошли от противного. Они допустили, что суммарная ширина зон, полностью покрывающих сферу, меньше π.

Исходя из этой предпосылки, они сумели доказать: в пространстве найдётся такое множество точек, что хотя бы одна из них не будет расположена между "стенками". Если она лежит прямо на сфере, задача решена. Если она лежит внутри шара, ограниченного сферой, то можно построить точку на сфере "над ней", и она тоже не будет зажата между двумя стенками, а значит, не покрыта зонами.

Если же точка лежит снаружи, вне сферы, то можно заменить несколько зон одной зоной той же суммарной ширины. То есть число зон уменьшится, а их суммарная ширина останется прежней. Для них снова можно будет построить множество, хотя бы одна точка которого не будет зажата между "стенками".

Продолжая этот процесс, всё уменьшая и уменьшая число зон, в конце концов мы обязательно получим не зажатую между стенками точку, лежащую прямо на сфере или внутри шара, а в этих условиях задача, как показали авторы, решена.

Полное покрытие сферы пятью зонами.

Таким образом, если предположить, что суммарная ширина зон меньше π, то на сфере найдётся непокрытая ими точка. Тем самым теорема доказана.

Добавим, что авторы доказали теорему сразу для n-мерного евклидова пространства. Тот факт, что она верна в привычном нам трёхмерном мире, оказывается частным случаем доказанной истины.

Результат авторов кажется очень далёким от реальной жизни. Но он является частью обширного раздела математики, который называется дискретной геометрией. Теоремы этой науки давно применяются, например, для оптимизации кодирования данных. Связана эта область и с теорией графов, которая незаменима в программировании, логистике и многих других областях.

Не говоря уже о том, что математическая истина прекрасна сама по себе. И восхищаться ею можно бесконечно.

Сегодня