Дискриминант помогает понять, сколько корней имеет квадратное уравнение. Разберем простыми словами, что такое дискриминант, как его вычислять и как с его помощью решать квадратные уравнения.
Что такое квадратное уравнение
Квадратное уравнение — это уравнение второй степени вида ax² + bx + c = 0, где x — неизвестная величина; a, b и c — числовые коэффициенты. Например, в уравнении 2x² + 3x − 5 = 0 — a = 2; b = 3; c = −5.
Для этого алгебраического уравнения обязательно условие a ≠ 0. Если коэффициент при x² будет равен нулю, уравнение перестает быть квадратным и становится линейным.
Уравнения второй степени бывают полными и неполными. В первом случае присутствуют все слагаемые, где a, b и c не равны нулю. Например, 3x² − 7x + 2 = 0. Неполным уравнением считается то, где числовые множители b и/или c равны нулю. Например, 2x² + 3x = 0, где свободный член c = 0.
Главная задача при решении уравнения второй степени — найти такие значения x, при которых равенство становится верным
Что такое дискриминант
Дискриминант квадратного уравнения (D) — специальное число, которое показывает, сколько корней имеет квадратное уравнение и как их найти.
Формула D = b² − 4ac, где a, b и c — числовые множители уравнения второй степени.
Формула дискриминанта и корней уравнения второй степени
Например, 3x² − 7x + 2 = 0, где a = 3, b = −7, c = 2.
Вычисляем дискриминант по формуле D = b² − 4ac и подставляем известные числовые множители. Получается D = (−7)² − 4 × 3 × 2 → 49 − 24 = 25.
Дискриминант равен 25. Число положительное, значит, в этом уравнении два разных корня.
Если D > 0, корни находятся по формуле: x₁,₂ = (−b ± √D) / 2a. Знак ± означает, что нужно выполнить два вычисления:
- x₁ = (−b + √D) / 2a;
- x₂ = (−b − √D) / 2a.
Если D = 0, оба выражения дают одинаковый результат, поэтому у уравнения один действительный корень, который вычисляется по формуле x = −b / 2a.
Сколько корней и какие они в зависимости от дискриминанта
Количество действительных корней зависит от значения дискриминанта:
- если D > 0, два разных корня находятся по формуле: x₁,₂ = (−b ± √D) / 2a;
- если D = 0, уравнение имеет один действительный корень, который вычисляется по формуле x = −b / 2a;
- если D < 0, то действительный корней нет.
Как найти дискриминант и вычислить квадратное уравнение
Вернемся к уравнению 3x² − 7x + 2 = 0 из примера выше. Чтобы его решить, достаточно выполнить несколько действий:
- Привести уравнение к виду ax² + bx + c = 0.
- Определить числовые множители a, b и c вместе с их знаками.
- Вычислить дискриминант через выражение D = b² − 4ac.
- Определить число действительных корней: D > 0 — два; D = 0 — один; D < 0 — действительных корней нет.
- Если D ≥ 0, вычислить корни через выражение x₁,₂ = (−b ± √D) / 2a, где знак ± указывает на два простых вычисления. Одно со знаком “+”, а другое с “−”.
Задача: 3x² − 7x + 2 = 0, где a = 3, b = −7, c = 2.
Вычисляем дискриминант: D = (−7)² − 4 × 3 × 2 → 49 − 24 = 25. Число 25 больше нуля, значит, уравнение имеет два корня.
Далее используем выражение x₁,₂ = (−b ± √D) / 2a.
Уточнение: так как в выражении используется −b, а наше b уже равно −7, то знак меняется на противоположный и число становится положительным.
Первый корень x₁ — прибавляется корень из дискриминанта: x₁ = (−b + √D) / 2a.
Вычисляем: x₁ = (7 + √25) / 2 × 3 → (7 + 5) / 6 → 12 / 6 → 2.
Второй корень x₂ — отнимается корень из дискриминанта: x₁ = (−b − √D) / 2a.
Вычисляем: x₂ = (7 − √25) / 2 × 3 → (7 − 5) / 6 → 2 / 6 → ⅓.
Ответ: корни квадратного уравнения 3x² − 7x + 2 = 0 равны 2 и ⅓.
Что такое четный дискриминант
Четный дискриминант (D₁ или D/4), или формула через четверть дискриминанта, — это упрощенная версия обычного выражения. Он используется, когда средний числовой множитель b делится на 2.
Вместо буквы b в выражении может использоваться его половина, которая обозначается как k, где k = b/2. Благодаря этому числа при расчетах получаются гораздо меньше, и производить вычисление становится легче.
Рассмотрим, как будут выглядеть формулы D и корней уравнения, если учитывается четный коэффициент b.
Обычный вид:
- D = b² − 4ac;
- x₁,₂ = (−b ± √D) / 2a.
Выражения с четным дискриминантом:
- D = b² − 4ac → подставляем b = 2k, так как k — это половина от b → D = (2k)² − 4ac → раскрываем скобки → D = 4k² − 4ac → выносим общую четверку за скобки → D = 4 × (k² − ac) → D/4 = k² − ac или D₁ = k² − ac;
- x₁,₂ = (−b ± √D) / 2a → подставляем b = 2k и D = 4 × D₁, где 4 — насколько дискриминант сокращается; D₁ — четный дискриминант → x₁,₂ = (−(2k) ± √(4 × D₁)) / 2a → извлекаем корень из четверки, чтобы она вышла из-под знака корня: √4 = 2 → x₁,₂ = (−2k ± 2√D₁) / 2a → у двух числителей есть общая двойка, которую можно вынести за скобки → x₁,₂ = 2 × (−k ± √D₁) / 2a → сокращаем двойку вверху и внизу в знаменателе → x₁,₂ = (−k ± √D₁) / a.
Как решить уравнение через четный дискриминант
Рассмотрим уравнение 2x² − 6x + 4 = 0, где b = −6 — четное число.
Находим четный дискриминант через D₁ = k² − ac, где k = b/2:
D₁ = (−6 / 2)² − 2 × 4 → 36 / 4 − 8 → 9 − 8 = 1.
Затем вычисляем корни через сокращенное выражение x₁,₂ = (−k ± √D₁) / a, где k = b/2:
- x₁ = (−k + √D₁) / a → −(−6 / 2) + √1 / 2 → −(−3) + 1 / 2 → 3 + 1 / 2 → 4 / 2 = 2;
- x₂ = (−k − √D₁) / a → −(−6 / 2) − √1 / 2 → −(−3) − 1 / 2 → 3 − 1 / 2 → 2 / 2 = 1.
Итог: уравнение 2x² − 6x + 4 = 0 имеет два корня x₁ = 2 и x₂ = 1.
Обычная формула дискриминанта даст тот же результат. Сокращенный вариант лишь уменьшает количество вычислений
Неполные квадратные уравнения
Как мы затрагивали это понятие в самом начале, неполными уравнениями второй степени считаются те, где числовые множители b и/или c равен нулю. Для такого типа уравнения вычислять корни через дискриминант необязательно. Ниже рассмотрим разные варианты.
Если b = 0, получается исходное уравнение второй степени будет выглядеть так: ax² + c = 0. Чтобы вычислить x, нужно:
- ax² + c = 0 → ax² = −c.
- ax² = −c → делим на a → x² = −c / a.
- x² = −c / a → x₁,₂ = ±√(−c/a).
Например, 3x² − 12 = 0. Чтобы решить такое уравнение нужно перенести известное число вправо, изолировать x² и извлечь корень.
Вычисления:
- Переносим −12 в правую часть с противоположным знаком: 3x² = 12.
- Делим обе части на 3, чтобы остался чистый x²: x² = 12 / 3 → 4.
- Число в квадрате, которое дает 4, может быть как положительным, так и отрицательным. Извлекаем из полученной цифры корни: x = ±√4 → x₁ = 2 и x₂ = −2.
Важно: если после переноса получается уравнение вида x² = −9, то ответа нет. Квадрат числа в обычной математике не может быть отрицательным
Если c = 0, получается исходное уравнение второй степени будет выглядеть так: ax² + bx = 0. Чтобы вычислить x, нужно:
- ax² + bx = 0 → x (ax + b) = 0.
- Отсюда x₁ = 0 и x₂ = −b/a.
Например, 2x² + 3x = 0. Чтобы решить такое уравнение нужно вынести x за скобки как полноценный множитель.
Вычисления:
- Выносим x отдельно за скобки: x (2x + 3) = 0.
- Рассуждаем: умножаются две части — “голый” x и выражение в скобках. Результат равен нулю, получается, хотя бы один из множителей должен быть также равен нулю. Либо x₁ = 0, как правило, это всегда готовый первый корень, либо 2x + 3 = 0.
- Дорешиваем второе линейное уравнение из скобок: 2x + 3 = 0 → 2x = −3 → x₂ = − 3/2.
- Получается у уравнения x (2x + 3) = 0 два корня: x₁ = 0 и x₂ = − 3/2.
Если b = 0 и c = 0, тут может быть только один ответ: на какое число ни умножай квадрат, ноль получится только в одном случае — если сам x равен нулю.
Примеры решения квадратных уравнений через дискриминант
Упражнение 1: дискриминант больше нуля
Дано уравнение x² − 5x + 6 = 0, где a = 1, b = −5, c = 6.
Вычисляем дискриминант через D = b² − 4ac: D = (−5)² − 4 × 1 × 6 → 25 − 24 = 1. Он равен 1. Число больше нуля, значит, в этом уравнении два разных корня. В таком случае используется выражение x₁,₂ = (−b ± √D) / 2a. Так как используется −b, а наше b уже равно −5, то знак меняется на противоположный и число становится положительным.
- x₁ = (−b + √D) / 2a → (5 + √1) / 2 × 1 → 5 + 1 / 2 → 6 / 2 → 3;
- x₂ = (−b − √D) / 2a → (5 − √1) / 2 × 1 → 5 − 1 / 2 → 4 / 2 → 2.
Ответ: типы корней уравнения x² − 5x + 6 = 0 равны 3 и 2.
Упражнение 2: дискриминант равен нулю
Дано уравнение x² + 4x + 4 = 0, где a = 1, b = 4, c = 4.
Вычисляем дискриминант через D = b² − 4ac: D = 4² − 4 × 1 × 4 → 16 − 16 = 0. Он равен 0. Значит, уравнение имеет один корень, который вычисляется через выражение x = −b / 2a.
x = −b / 2a → −4 / 2 × 1 → −4 / 2 → −2.
Ответ: корень уравнения x² + 4x + 4 = 0 равен −2.
Упражнение 3: дискриминант меньше нуля
Дано уравнение x² + 2x + 5 = 0, где a = 1, b = 2, c = 5.
Вычисляем дискриминант через D = b² − 4ac: D = 2² − 4 × 1 × 5 → 4 − 20 = −16. Число отрицательное, поэтому действительных корней нет.
Ответ: корней нет.
Частые ошибки при вычислении дискриминанта
Ошибка 1. Потеря знака числового множителя. Если b = −4, то в выражение нужно ставить (−4)². Если написать без скобок, то вместо 16 получится −16, из-за чего весь дискриминант рушится. Любое число в квадрате всегда остается положительным или нулем.
Ошибка 2. Неправильный знак числовых множителей b или c. Знак плюс или минус перед числом влияет на ход дальнейших вычислений. В уравнении x² + 5x − 6 = 0 коэффициент c равен −6, а не 6.
Ошибка 3. Не возведение b в квадрат. Формула дискриминанта содержит b², а не просто b.
Ошибка 4. Ошибка в знаках при расчете −4ac. При перемножении чисел нужно учитывать знаки всех числовым множителей. Если a = 2, а c = −3, то выражение превращается в: −4 × 2 × (−3). Минус на минус даст плюс, поэтому должно получиться 24, а не −24.
Ошибка 5. Поиск действительных корней при D < 0, который не имеет корней.
Ошибка 6. Пропуск части выражения “разделить на 2a”. Знаменатель формулы корней относится ко всему числителю, а не только к −b или к √D.
Где применяется дискриминант
Дискриминант помогает исследовать квадратные функции и определить, пересекает ли парабола ось Ox:
- D > 0 — парабола пересекает ось Ox в двух точках;
- D = 0 — парабола касается оси Ox;
- D < 0 — парабола не пересекает ось Ox.
Если говорить коротко, в науке, инженерии и экономике дискриминант — инструмент, который помогает узнать: существует ли вообще решение задачи, и если да, то сколько вариантов развития событий возможно.
Например, дискриминант помогает описать движение тел с ускорением и точно отсчитать время полета, падения или набора высоты для любых объектов. Или рассчитать точку безубыточности, показывая, при каком объеме производства доходы компании полностью покроют расходы и бизнес перестанет нести убытки.
Дискриминант или теорема Виета: что лучше
Оба способа позволяют решить уравнения второй степени, но подходят для разных ситуаций.
Дискриминант — универсальный способ, который работает для любого квадратного уравнения и сразу показывает количество действительных корней. Его формулу можно использовать, если перед x² стоит число, а сами коэффициенты дробные, большие или дискриминант не выражается полным квадратом, то есть корни получаются с корнями, вроде 2 ± √5.
Теорема Виета удобна, когда корни легко подобрать. Например, в уравнении x² − 5x + 6 = 0 коэффициенты b и c — небольшие целые числа. Вспомнив таблицу умножения, можно подобрать два числа, которые при умножении дают 6, а в сумме будет 5. Это числа 2 и 3.
