Что такое площадь трапеции, в чем она измеряется и как ее найти разными способами? Разберем эту тему, частые ошибки школьников и решим ряд задач.

Что такое площадь трапеции

Трапеция — это выпуклый четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие нет. Параллельные стороны называются основаниями, непараллельные — боковыми.

Основные элементы фигуры:

  • основания трапеции (a) и (b);
  • наклонные стороны (c) и (d);
  • высота (h) — перпендикуляр между основаниями трапеции;
  • средняя линия (m) — отрезок, соединяющий середины боковых сторон;
  • диагонали трапеции (d1) и (d2), соединяющие противоположные вершины.

Средняя линия параллельна основаниям трапеции, а ее длина равна их полусумме: m = (a + b) / 2.

Виды трапеции: произвольная, равнобедренная и прямоугольная. У равнобедренной фигуры боковые стороны и диагонали идентичны, а углы при каждом основании попарно равны. У прямоугольной одна наклонная сторона перпендикулярна основаниям трапеции и образует прямой угол.

Сумма углов, прилегающих к одной боковой стороне, всегда равна 180°

Площадь показывает, какую часть плоскости занимает фигура. Она измеряется в квадратных единицах: мм², см², м² и других. Сам способ определения площади трапеции основан на простом принципе: ее можно разделить на прямоугольник и треугольники, вычислить их площади и сложить результаты.

Формулы площади трапеции

Выбор формулы зависит от известных данных в задачах.

Что известно в трапеции Формула
Основание и перпендикуляр S = ((a+b) / 2) × h
Средняя линия трапеции и перпендикуляр S = m × h
Диагонали и угол между ними S = 1/2 × d1 × d2 × sinα
Полупериметр и радиус вписанной окружности S = p × r

Как найти площадь геометрической фигуры через основания и перпендикуляр

Если известны параллельные стороны и высота трапеции, для определения ее площади используется многоступенчатая формула: S = ((a+b) / 2) × h.

Порядок расчета площади трапеции по формуле:

  1. Для начала необходимо сложить основания.
  2. Затем разделить полученную сумму на 2.
  3. Умножить общий результат на перпендикуляр трапеции.
  4. Записать ответ в квадратных единицах.

Площадь геометрической фигуры через среднюю линию и перпендикуляр

Если известны средняя линия и высота трапеции, для определения ее площади используется формула: S = m × h.

Если же известны только параллельные стороны трапеции и перпендикуляр, можно вначале определить среднюю линию по формуле: m = (a + b) / 2:

  1. Для начала необходимо сложить основания.
  2. Затем разделить полученную сумму на 2, так мы вычислим среднюю линию.
  3. Умножить общий результат на перпендикуляр трапеции.
  4. Записать ответ в квадратных единицах.

Площадь геометрической фигуры через диагонали и угол между ними

Если известны обе диагонали трапеции и угол между ними, применяется другая многоступенчатая формула: S = 1/2 × d1 × d2 × sinα.

При решении задач о трапециях используется как острый, так и тупой угол между диагоналями: их синусы равны

Как вычислить площадь через четыре стороны

Чтобы найти площадь трапеции, зная длину четырех сторон, необходимо провести ряд вычислений.

Пусть a — большее основание трапеции, b — меньшее, c и d — боковые стороны.

Сначала находится проекция стороны c на a — длина отрезка, который “отсекается” на нижнем основании, если из верхнего угла опустить строго вертикальную линию. Это необходимо, чтобы найти перпендикуляр трапеции: x = ((a–b)² + c² – d²) / 2 × (a–b).

Зная значение x, далее можно вычислить высоту трапеции по теореме Пифагора: h = √c²–x².

После определения перпендикуляра применяется основная формула для нахождения площади трапеции: S = ((a+b) / 2) × h.

Такой способ подходит только тогда, когда указанные четыре отрезка действительно могут образовать трапецию

Площадь через полупериметр и радиус вписанной окружности

Если в трапецию вписана окружность и она зажата между параллельными основаниями, ее перпендикуляр равен диаметру окружности, то есть h = 2r.

Также стоит учитывать, что площадь любого многоугольника с вписанной окружностью равна произведению его полупериметра на радиус этой окружности. Формула S = p × r, где p — полупериметр, то есть половина суммы всех четырех сторон, а r — радиус.

Если в трапецию вписана окружность, то сумма ее оснований всегда равна сумме боковых сторон, то есть a + b = c + d. Из-за этого свойства трапеции p становится в точности равен сумме оснований, то есть p = a + b.

Вспоминаем формулу площади трапеции через среднюю линию и перпендикуляр: S = m × h, где m = (a+b) / 2 — полусумма оснований.

Если объединить вышеуказанные факты, то площадь трапеции с вписанной окружностью можно выразить таким образом: S = p × r = (a+b) × r = ((a+b) / 2) × h. Более наглядно мы проиллюстрировали это на изображении, можно сохранить его в качестве шпаргалки.

Задачи на нахождение площади с решениями

Определить площадь трапеции с основаниями 6 и 10 см и перпендикуляром 5 см

В задаче указано, что параллельные стороны равны 6 и 10 см, а перпендикуляр фигуры — 5 см. Необходимо посчитать параметры трапеции.

Дано:

  • a = 6 см;
  • b = 10 см;
  • h = 5 см.

Используем формулу: S = ((a+b) / 2) × h.

Площадь трапеции равна: S = ((6+10) / 2) × 5 → (16 / 2) × 5 → 8 × 5 → 40 см².

Ответ: 40 см².

Найти площадь трапеции со средней линией 8 см и перпендикуляром 6 см

В задаче указано, что средняя линия равна восьми сантиметрам, а перпендикуляр трапеции — шести. Необходимо посчитать площадь.

Дано:

  • m = 8 см;
  • h = 6 см.

Умножаем длину средней линии на перпендикуляр по формуле: S = m × h.

Площадь трапеции равна: S = 8 × 6 → 48 см².

Ответ: 48 см².

Нахождение площади трапеции Фото: Фото медиаплатформы "Смотрим"

Вычислить площадь равнобедренной трапеции с основаниями 4 и 10 см и боковой стороной 5 см

В задаче указано, что параллельные стороны равны 10 и 4 см, а наклонная фигуры — 5 см. Необходимо посчитать у равнобедренной трапеции площадь.

Дано:

  • b = 4 см;
  • c = 5 см = d, так как трапеция равнобедренная.

Используем несколько формул для решения:

  1. Находится проекция стороны c на большее основание трапеции: x = ((a–b)² + c² – d²) / 2 × (a–b) → ((10–4)² + 5² – 5²) / 2 × (10–4) → 6² / 2 × 6, так как 5² – 5² даст ноль → 36 / 12 → 3 см.
  2. Зная значение x, вычисляем перпендикуляр трапеции по теореме Пифагора: h = √c²–x² → √5²–3² → √25–9 → √16 → 4 см.
  3. После определения перпендикуляра применяется основная формула для нахождения параметров трапеции: S = ((a+b) / 2) × h → ((10+4) / 2) × 4 → (14 / 2) × 4 → 7 × 4 → 28 см².

Ответ: 28 см².

Найти площадь прямоугольной трапеции с основаниями 6 и 10 см и острым углом 45°

В задаче указано, что стороны равны 10 и 6 см и угол в 45°. Необходимо посчитать площадь прямоугольной трапеции.

Дано:

  • a = 10 см;
  • b = 6 см;
  • ∠D = 45°.

Решение проходит в несколько этапов:

1 этап. Находим катет треугольника. Если в прямоугольной трапеции из вершины опустить перпендикуляр на нижнее большее основание, фигура разделится на две части: прямоугольник и прямоугольный треугольник. Нижняя сторона прямоугольника равна верхней, то есть 6 см. Значит, оставшаяся часть нижней стороны, которая одновременно признается катетом треугольника и разницей между всем основанием и прямоугольником: 10 – 6 = 4 см.

2 этап. Определяем перпендикуляр трапеции.

Сумма углов треугольника всегда равна 180°. В нашем случае один угол прямой 90°, а второй дан по условию 45°. Находим третий угол: 180° – 90°– 45° = 45°. Раз два угла треугольника равны, то есть оба по 45°, фигура считается равнобедренной.

У равнобедренного треугольника равны катеты. Вертикальный катет — это высота трапеции, а именно h, горизонтальный — разность параллельных отрезков, которая равна 4 см. Следовательно, они идентичны. Значит перпендикуляр трапеции равен также 4 см.

3 этап. Вычисляем параметры трапеции через формулу S = ((a+b) / 2) × h → ((10+6) / 2) × 4 → (16 / 2) × 4 → 8 × 4 → 32 см².

Ответ: 32 см².

Нахождение площади трапеции через высоту Фото: Фото медиаплатформы "Смотрим"

Рассчитать площадь трапеции на клетчатой бумаге с клетками 1×1 см

Представим, что у трапеции основания занимают 4 и 8 клеток, а перпендикуляр — 3 клетки. Поскольку клетка — единичный квадрат, сторона каждой равна 1 см. Получается:

  • a = 4 см;
  • b = 8 см;
  • h = 3 см.

Используем формулу S = ((a+b) / 2) × h.

Площадь трапеции равна: S = ((4+8) / 2) × 3 → (12 / 2) × 3 → 6 × 3 → 18 см².

Ответ: 18 см².

Частые ошибки при вычислении площади трапеции

  1. Перепутать стороны — где основания, а где боковые стороны. По определению трапеции, основания всегда параллельны друг другу.
  2. Перепутать элементы трапеции — где наклонная сторона, а где перпендикуляр. Первая всегда длиннее, так как является гипотенузой в прямоугольном треугольнике. А второй — это кратчайшее расстояние между параллельными отрезками, и она всегда падает строго под прямым углом, то есть 90°.
  3. Забыть разделить сумму оснований на 2. Формула S = ((a+b) / 2) × h опирается на значение средней линии. Если забыть поделить на 2, получится не площадь трапеции, а параллелограмма со стороной, равной сумме оснований.
  4. Подставить угол без синуса в формулу трапеции с диагоналями S = 1/2 × d1 × d2 × sinα. Градусы обязательно должны быть выражены через тригонометрическую функцию.
  5. Оставить разные единицы измерения. Перед расчетом все длины трапеции нужно привести к одной величине.
  6. Записывать ответ в линейных единицах. Площадь указывается в см², м² и других квадратных значениях.

После решения полезно перепроверить результат простым лайфхаком. Если a — большее основание, а b — меньшее, площадь трапеции должна быть больше b × h, но меньше a × h

. Фото: Фото медиаплатформы "Смотрим"

Вопросы и ответы о площади трапеции

01В чем измеряется площадь трапеции?

— Площадь трапеции измеряется в квадратных единицах: мм², см², дм², м², км².

02Можно ли найти площадь без перпендикуляра трапеции?

— Площадь трапеции также можно вычислить по сторонам и основаниям либо использовать диагонали и угол между ними. Для трапеции с вписанной окружностью подходит формула через периметр трапеции и радиус.

03Как вычислить перпендикуляр трапеции, если известны площадь и основания?

— Нужно преобразовать основную формулу S = ((a+b) / 2) × h → h = 2 × S / (a+b). Площадь четырехугольника следует умножить на 2, а затем разделить на сумму оснований.

04Где в жизни пригодится нахождение площади?

— Вычисление параметров трапеции проводится при расчете кровли и фасадов, площади земельных участков, деталей одежды, листовых материалов, элементов мебели и конструкций по чертежам. В экономике построение фигуры используется для выявления общих экономических показателей на графиках, — например, совокупный доход или объем выпуска — по дискретным точкам данных.