Возведение числа в степень упрощает вычисления, позволяет компактно записывать большие числа и используется в алгебре, геометрии, физике и информатике. Важно не только уметь находить значения таких выражений по таблице, но и понимать, как читается такая запись и какие у нее есть свойства.
Что такое степень числа
Представим задачу, что нужно посчитать площадь квадрата со стороной 8. Можно написать 8 × 8, а можно короче — 8². Если нужно найти объем куба со стороной 3, записываем 3³. Такая математическая запись и называется степенью числа.
То есть, степень — это короткий способ записать многократное умножение числа на само себя: Yⁿ = Y × Y × Y × ... × Y (n раз). Это означает возвести число в степень.
В записи 5⁴:
- 5 — это основание степени, то есть число, которое умножается само на себя;
- 4 — это показатель степени, то есть сколько берется оснований для умножения.
Короткая запись 5⁴ означает возведение в натуральную степень: 5 × 5 × 5 × 5. То же самое с 2³: тройка сверху показывает, что двойку нужно взять множителем три раза.
Натуральная степень — это степень, у которой показатель является положительным целым числом, то есть 1, 2, 3, 4 и так далее.
Степени помогают не расписывать длинные цепочки перемножения
Как читается математическая запись числа в степени? Есть два привычных варианта чтения:
- 5² — пять во второй степени или пять в квадрате;
- 3³ — три в третьей степени или три в кубе;
- 2⁶ — два в шестой степени.
Названия квадрат и куб используются только для второй и третьей степени. Во всех остальных случаях говорится “в четвертой степени”, “в пятой степени” и так далее.
Таблица натуральных степеней чисел от 1 до 10
Чтобы не считать одно и то же заново, удобно держать под рукой готовые значения.
Еще один важный случай, который не используется в базовой арифметике и обычно не рассматривается в школьных задачах, — возведение числа в нулевую степень. Для любого числа a, кроме нуля, действует правило: a⁰ = 1. Например:
- 7⁰ = 1;
- 125⁰ = 1;
- (-4)⁰ = 1;
- (3/5)⁰ = 1.
Почему так получается? Чтобы это понять можно рассмотреть деление степеней с одинаковым основанием: 7³ / 7³ = 7³⁻³ = 7⁰. Но любое одинаковое число, деленное само на себя, дает 1. Значит, 7⁰ = 1. Поэтому основание с показателем 0 не может быть применено к нулю, так как на него делить нельзя.
Таблица степеней числа 1
Возвести единицу в любую степень достаточно просто. Результат всегда будет равен единице, сколько бы раз ни умножалась цифра сама на себя. Формула: 1ⁿ = 1, где n — показатель, то есть количество умножений.
Таблица степеней числа 2
| Показатель | Запись основания и показателя | Значение |
|---|---|---|
| 1 | 2¹ | 2 |
| 2 | 2² | 4 |
| 3 | 2³ | 8 |
| 4 | 2⁴ | 16 |
| 5 | 2⁵ | 32 |
| 6 | 2⁶ | 64 |
| 7 | 2⁷ | 128 |
| 8 | 2⁸ | 256 |
| 9 | 2⁹ | 512 |
| 10 | 2¹⁰ | 1 024 |
Таблица степеней числа 3
| Показатель | Запись основания и показателя | Значение |
|---|---|---|
| 1 | 3¹ | 3 |
| 2 | 3² | 9 |
| 3 | 3³ | 27 |
| 4 | 3⁴ | 81 |
| 5 | 3⁵ | 243 |
| 6 | 3⁶ | 729 |
| 7 | 3⁷ | 2 187 |
| 8 | 3⁸ | 6 561 |
| 9 | 3⁹ | 19 683 |
| 10 | 3¹⁰ | 59 049 |
Таблица степеней числа 4
Четверка — это 2², поэтому ее степени тесно связаны со степенями двойки.
| Показатель | Запись основания и показателя | Значение |
|---|---|---|
| 1 | 4¹ | 4 |
| 2 | 4² | 16 |
| 3 | 4³ | 64 |
| 4 | 4⁴ | 256 |
| 5 | 4⁵ | 1 024 |
| 6 | 4⁶ | 4 096 |
| 7 | 4⁷ | 16 384 |
| 8 | 4⁸ | 65 536 |
| 9 | 4⁹ | 262 144 |
| 10 | 4¹⁰ | 1 048 576 |
Таблица степеней числа 5
Пятерка удобна тем, что ее степени легко узнаются по характерному окончанию на число 25.
| Показатель | Запись основания и показателя | Значение |
|---|---|---|
| 1 | 5¹ | 5 |
| 2 | 5² | 25 |
| 3 | 5³ | 125 |
| 4 | 5⁴ | 625 |
| 5 | 5⁵ | 3 125 |
| 6 | 5⁶ | 15 625 |
| 7 | 5⁷ | 78 125 |
| 8 | 5⁸ | 390 625 |
| 9 | 5⁹ | 1 953 125 |
| 10 | 5¹⁰ | 9 765 625 |
Таблица степеней числа 6
| Показатель | Запись основания и показателя | Значение |
|---|---|---|
| 1 | 6¹ | 6 |
| 2 | 6² | 36 |
| 3 | 6³ | 216 |
| 4 | 6⁴ | 1 296 |
| 5 | 6⁵ | 7 776 |
| 6 | 6⁶ | 46 656 |
| 7 | 6⁷ | 279 936 |
| 8 | 6⁸ | 1 679 616 |
| 9 | 6⁹ | 10 077 696 |
| 10 | 6¹⁰ | 60 466 176 |
Таблица степеней числа 7
Семерка — простое число, а ее степени быстро становятся большими, поэтому таблицу значений держать рядом с собой при решении задач особенно удобно.
| Показатель | Запись основания и показателя | Значение |
|---|---|---|
| 1 | 7¹ | 7 |
| 2 | 7² | 49 |
| 3 | 7³ | 343 |
| 4 | 7⁴ | 2 401 |
| 5 | 7⁵ | 16 807 |
| 6 | 7⁶ | 117 649 |
| 7 | 7⁷ | 823 543 |
| 8 | 7⁸ | 5 764 801 |
| 9 | 7⁹ | 40 353 607 |
| 10 | 7¹⁰ | 282 475 249 |
Таблица степеней числа 8
Восьмерка — это 2³, поэтому ее значения удобно рассчитывать через степени двойки.
| Показатель | Запись основания и показателя | Значение |
|---|---|---|
| 1 | 8¹ | 8 |
| 2 | 8² | 64 |
| 3 | 8³ | 512 |
| 4 | 8⁴ | 4 096 |
| 5 | 8⁵ | 32 768 |
| 6 | 8⁶ | 262 144 |
| 7 | 8⁷ | 2 097 152 |
| 8 | 8⁸ | 16 777 216 |
| 9 | 8⁹ | 134 217 728 |
| 10 | 8¹⁰ | 1 073 741 824 |
Таблица степеней числа 9
Девятка — это квадрат тройки, то есть 3², поэтому ее степени можно считать и через свойства степеней, о которых мы поговорим ниже.
| Показатель | Запись основания и показателя | Значение |
|---|---|---|
| 1 | 9¹ | 9 |
| 2 | 9² | 81 |
| 3 | 9³ | 729 |
| 4 | 9⁴ | 6 561 |
| 5 | 9⁵ | 59 049 |
| 6 | 9⁶ | 531 441 |
| 7 | 9⁷ | 4 782 969 |
| 8 | 9⁸ | 43 046 721 |
| 9 | 9⁹ | 387 420 489 |
| 10 | 9¹⁰ | 3 486 784 401 |
Таблица степеней числа 10
Степени “десятки” — самые наглядные. Показатель просто обозначает, сколько нулей нужно добавить после единицы.
| Показатель | Запись основания и показателя | Значение |
|---|---|---|
| 1 | 10¹ | 10 |
| 2 | 10² | 100 |
| 3 | 10³ | 1 000 |
| 4 | 10⁴ | 10 000 |
| 5 | 10⁵ | 100 000 |
| 6 | 10⁶ | 1 000 000 |
| 7 | 10⁷ | 10 000 000 |
| 8 | 10⁸ | 100 000 000 |
| 9 | 10⁹ | 1 000 000 000 |
| 10 | 10¹⁰ | 10 000 000 000 |
Как пользоваться таблицей степеней
Как проверять вычисления по таблице
Самый простой способ такой:
- Найти основание.
- Затем найти нужный показатель степени.
- Проверить, где эти значения пересекаются, и сверить результат.
Полезный прием — смотреть, должен ли ответ сильно вырасти. Чем больше показатель степени, тем быстрее растет результат. Если число почти не изменилось, скорее всего, где-то есть ошибка
Где таблица помогает в задачах
Готовые значения в таблице степеней особенно полезны:
- в школьных примерах и уравнениях;
- в физике и химии, где встречаются формулы;
- в информатике, где часто нужны степени двойки;
- при проверке ответов без калькулятора.
В школьных задачах часто встречаются не только степени чисел от 1 до 10, но и квадраты и кубы чисел до 20. Их полезно знать отдельно, так как это поможет быстрее решать примеры, уравнения, задачи на площадь и объем, а также проверять вычисления без калькулятора.
Квадрат числа — это число, умноженное само на себя. Например, 12² = 12 × 12 = 144.
- 11² = 121;
- 12² = 144;
- 13² = 169;
- 14² = 196;
- 15² = 225;
- 16² = 256;
- 17² = 289;
- 18² = 324;
- 19² = 361;
- 20² = 400.
Эти значения часто используются при решении квадратных уравнений, задач на площадь, упрощении выражений и вычислении корней
Например:
- √144 = 12, потому что 12² = 144;
- площадь квадрата со стороной 18 см равна 18² = 324 см².
Куб числа — это число, умноженное само на себя три раза. Например, 11³ = 11 × 11 × 11 = 1331.
- 11³ = 1 331;
- 12³ = 1 728;
- 13³ = 2 197;
- 14³ = 2 744;
- 15³ = 3 375;
- 16³ = 4 096;
- 17³ = 4 913;
- 18³ = 5 832;
- 19³ = 6 859;
- 20³ = 8 000.
Кубы чисел особенно полезны в задачах на объем. Если известна длина ребра куба, его объем находится по формуле V = a³
Например:
- объем куба с ребром 12 см равен 12³ = 1 728 см³;
- если 17³ = 4913, значит кубический корень из 4913 равен 17.
Чтобы быстрее запомнить кубы, можно сначала выучить квадраты, а затем умножать квадрат числа еще раз на это же число:
- 14³ = 14² × 14 = 196 × 14 = 2744;
- 18³ = 18² × 18 = 324 × 18 = 5832;
- 20³ = 20² × 20 = 400 × 20 = 8000.
Основные свойства степеней: таблица
Когда таблицы под рукой нет, могут помочь свойства степеней. Они сокращают вычисления и делают выражения короче.
| Свойство | Формула |
|---|---|
| Произведение степеней с одинаковым основанием | aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ |
| Деление степеней с одинаковым основанием | aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ; a ≠ 0 |
| Возведение степени в степень | (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ |
| Степень произведения | (ab)ⁿ = aⁿbⁿ |
| Степень частного | (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ; b ≠ 0 |
Умножение степеней с одинаковым основанием
Если основание одинаковое, показатели степени складываются. Например, 2³ × 2² = 2⁵ = 32. Такое сложение возможно, потому что в произведении просто увеличивается количество одинаковых множителей.
Деление степеней с одинаковым основанием
Если основания одинаковые, показатели степени вычитаются. Например, 5⁴/ 5² = 5² = 25.
Главное условие для применения этого свойства: основание не должно быть нулем
Возведение степени в степень
Если основание одинаковое, показатели могут и перемножаться. Например, (3²)³ = 3⁶ = 729.
Такое свойство удобно применять, когда нужно быстро раскрыть выражение без долгого перемножения каждой части
Степень произведения и частного
Степень, вынесенную за скобки, можно распределить по множителям. Например, (2 × 5)³ = 2³ × 5³ = 8 × 125 = 1000 или с дробью (3/4)² = 3²/4² = 9/16.
Особые случаи при возведении в степень
Кроме натуральных показателей, есть несколько важных случаев, которые часто вызывают вопросы у школьников.
Возведение числа в отрицательную степень
Отрицательная степень не означает, что ответ будет отрицательным. Она показывает, что число нужно обратить в дробь: a⁻ⁿ = 1 / aⁿ, если a ≠ 0.
Примеры:
- 2⁻³ = 1/2³ = 1/8;
- 10⁻² = 1/100 = 0,01.
Подсказка: при отрицательной степени основание как будто “переезжает” в знаменатель. Также знак минус относится к показателю, а не к самому числу в целом
Возведение числа в дробную степень
Дробная степень связана с корнями: aᵐ/ⁿ = ⁿ√(aᵐ).
Примеры:
- 16¹/² = √16 = 4;
- 27²/³ = (³√27)² = 3² = 9.
Для школьных задач обычно берутся такие примеры дробей, где результат получается наглядным и легко переводится в конечное число
Возведение отрицательного числа в степень
При возведении в степень чисел с отрицательными основаниями часто ошибаются из-за знака.
Общее правило очень простое:
- четная степень дает положительный результат;
- нечетная степень — отрицательный.
Так происходит, потому что минусы попарно уничтожаются друг на друга
Четная степень отрицательного числа
Примеры:
- (-2)² = 4;
- (-3)⁴ = 81.
Если отрицательное число умножается само на себя четное количество раз, минусов получается четное число, и итоговый знак будет плюсом
Нечетная степень отрицательного числа
Примеры:
- (-2)³ = -8;
- (-5)⁵ = -3 125.
Если множителей нечетное число, один минус остается, и результат будет отрицательным
Примеры вычисления степеней
Разберем несколько типичных примеров.
- Возвести 4³ → 4 × 4 × 4 = 64.
- Найти 2⁵ × 2² → 2⁵⁺² = 2⁷ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 128.
- Возвести (3²)² → 3⁴ = 3 × 3 × 3 × 3 = 81.
- Найти 10⁻³ → 1/10³ = 1/1000 = 0,001.
- Высчитать 25¹/ ² → √25 = 5.
- Упростить (5y)³ → (5y)³ = 5³y³ = 125y³.
На инженерном калькуляторе степень обычно вводится через кнопку xʸ или символ ^. Например, короткая запись 2^5 означает 2⁵, то есть 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32. Если основание отрицательное, его нужно брать в скобки: (-3)^2 = 9
Как быстро можно считать степени без калькулятора
Не всегда нужно перемножать число само на себя много раз. Часто проще разбить вычисление на шаги. Представим несколько способов:
Использовать предыдущую строку таблицы. Если известно, что 6⁴ = 1296, то 6⁵ можно найти одним произведением: 1296 × 6 = 7776. Каждая следующая степень получается умножением предыдущего результата на основание.
Разбивать показатель на удобные части. Например, нужно найти 2⁸. Можно возвести так: 2⁸ = 2⁴ × 2⁴ = 16 × 16 = 256. Это быстрее, чем восемь раз подряд умножать двойку.
Использовать связь с квадратами и кубами.
Если степень четная, ее часто удобно представить как квадрат: 5⁶ = (5³)² = 125² = 15 625.
Если показатель делится на три, можно использовать куб: 4⁶ = (4²)³ = 16³ = 4096.
Сначала упрощать выражение, а потом считать. Пример: 2⁴ × 5⁴ = (2 × 5)⁴ = 10⁴ = 10 000. Без свойства степеней пришлось бы отдельно перемножать 16 и 625.
Как сравнивать степени без полного вычисления
Иногда в задаче не нужно находить точное значение, достаточно понять, какое число больше.
Если основания одинаковые и больше единицы, больше та степень, у которой показатель выше: 3⁷ > 3⁵, потому что 7 > 5.
Если показатели одинаковые и положительные, больше та степень, у которой основание больше: 8⁴ > 6⁴, потому что 8 > 6.
Если и основания, и показатели разные, можно привести выражения к одному основанию.
Пример: 4⁵ и 2¹¹.
Так как 4 = 2², получаем: 4⁵ = (2²)⁵ = 2¹⁰.
Значит, 2¹¹ больше, чем 4⁵.
Еще пример: 9³ и 3⁷.
Так как 9 = 3², то: 9³ = (3²)³ = 3⁶.
Значит, 3⁷ > 9³.
Такие сравнения полезны в тестах, где нет возможности тратить время на большие вычисления
Как понять порядок действий в выражениях со степенями
В выражениях со степенями важно соблюдать порядок действий. Обычно сначала выполняются действия в скобках, затем возведение в степень, потом умножение и деление, и только после этого сложение и вычитание.
Пример: 2 + 3² × 4 = 2 + 9 × 4 = 2 + 36 = 38. Нельзя сначала сложить 2 и 3, потому что степень имеет более высокий приоритет.
Еще пример: (2 + 3)² = 5² = 25, а 2 + 3² = 2 + 9 = 11. Скобки полностью меняют смысл выражения.
При решении лучше сначала определить, к чему именно относится показатель степени: только к одному числу, ко всей скобке или к произведению
Типичные ошибки
Даже если тема кажется простой, на степенях легко потерять баллы на контрольных или экзаменах из-за невнимательности или путаницы.
Ошибка: думать, что в 3⁴ число 4, которое является показателем, нужно сделать умножение на себя три раза.
Правильно: основание — 3, значит перемножается именно эта цифра: 3 × 3 × 3 × 3 = 81.
Как запомнить? Спросить себя: “Что растет от земли?”. Основание, которое мы и берем за базу для уравнения
Ошибка: записать решение как -2² = 4, потеряв минус перед результатом.
Правильно: -2² = -(2²) = -4.
В математике у действий есть строгий приоритет. Возведение в степень всегда выполняется раньше, чем умножение на -1:
- в выражении -2² степень относится только к двойке, поэтому получается: - (2 × 2) = -4;
- чтобы в квадрат возводилось отрицательное число, нужны скобки вокруг всего числа: (-2)² = (-2) × (-2) = 4.
Как запомнить? Степень “жадная”, она захватывает только то число, над которым непосредственно стоит. Чтобы она захватила минус, его нужно спрятать вместе с числом в скобки
Ошибка: 2³ + 2² = 2⁵.
Так делать нельзя. Свойства работают только при умножении и делении, но не для сложения
Правильно: 2³ + 2² = 8 + 4 = 12.
Как понять, что ответ получился неправильным?
- Четная степень отрицательного числа дала минус — ошибка. Должен быть знак плюс.
- Показатель нуля не дал единицу — ошибка. Любое число, кроме нуля, в степени 0 всегда равно 1.
- При отрицательном показателе результат не стал дробью.
- При показатели числа 10 количество нулей не совпадает с показателем — ошибка. У десятки в степени n в конце должно быть ровно n нулей.
Пример: если при вычислении 8³ получился ответ меньше 8, то ошибка очевидна, так как при натуральной степени больше 1 число должно увеличиться.
Частые вопросы по таблице степеней
- 01Зачем нужна таблица степеней?
— Таблица степеней помогает быстро находить готовые значения, проверять себя и решать задачи без лишних вычислений.
- 02В каком классе изучают степени?
— Обычно с понятием степени знакомятся в 4–5 классах в виде квадрата (a²) и куба (a³) на геометрии для вычисления площадей и объемов фигур. В седьмом классе изучаются степени с натуральным показателем и три главных правила работы с ними: при умножении степеней их показатели складываются, при делении — вычитаются, а при возведении степени в степень — перемножаются. В восьмом классе ученики знакомятся с такими понятием, как “целые показатели”, появляются отрицательная и нулевая степени.
- 03Как выучить таблицу степеней быстрее?
— Лучше не зубрить всю таблицу подряд, а идти по шагам. Сначала запомнить числа от 1 до 10 с показателем 2, потом — кубы от 1 до 10. Отдельно стоит выучить степени чисел 2, 3 и 10. Также в процессе заучивания нужно чаще проверять себя короткими примерами.
