Площадь круга: как найти значение по формуле через радиус, диаметр и длину окружности

Что такое площадь круга, в чем она измеряется и как ее найти разными способами? Разберем эту тему, частые ошибки школьников и решим ряд задач.

Что такое площадь круга

Площадь круга — величина, которая показывает, какую часть плоскости занимает фигура внутри окружности. Например, зная площадь, можно определить размер круглого участка земли, поверхности стола, дна бассейна или озера приблизительно круглой формы.

Важно не путать круг и окружность. Окружность — замкнутая линия, а круг — вся область внутри нее. Поэтому корректнее говорить о площади круга, так как у самой окружности площади нет — для нее вычисляется длина

Основные понятия для дальнейшей работы с формулами:

• центр — точка, равноудаленная от всех точек окружности;
• радиус (обозначается r или R) — расстояние от центра до любой точки окружности;
• диаметр (обозначается d или D) — отрезок, соединяющий две точки окружности и проходящий через центр;
• длина окружности (обозначается L или C) — длина замкнутой линии, ограничивающей круг;
• площадь (обозначается S) — размер области внутри окружности;
• константа π (приблизительно равно 3,14) — число пи, то есть отношение длины окружности к ее диаметру.

Важно отметить, что диаметр в два раза больше радиуса: d = 2r, а r = d / 2.

Площадь измеряется в квадратных единицах. Если радиус дан в сантиметрах, результат записывается в квадратных сантиметрах; если в метрах — в квадратных метрах. Для вычисления площади земельных участков также используются такие величины, как сотки и гектары. Одна сотка равна 100 м², один гектар — 10 000 м².

. Фото: Источник: magnific.com

Формулы площади круга

Выбор формулы для вычисления площади круга зависит от того, какая величина известна в условии.

Знак ² означает степень, то есть число нужно умножить само на себя. Подробнее эту тему мы разбирали в предыдущем материале.

11:05 29 июлТаблица степеней и правила возведения числа

Как найти площадь круга через радиус

Если известно расстояние в виде радиуса круга, для определения его площади используется формула S = πr².

Порядок расчета площади круга по формуле:

1. Для начала необходимо возвести радиус в квадрат.
2. Затем умножить результат на число π.
3. Записать ответ в квадратных единицах.

Уточнение: в школе при вычислении площади по умолчанию используется значение π ≈ 3,14, если в тексте задачи нет специальных требований к округлению. Например, указаний округлить до десятых или до тысячных.

Иногда решение можно оставить с константой π — например, 25π см². Такой результат не содержит округлений и считается более точным.

Как вычислить площадь круга через диаметр

Если известно расстояние в виде диаметра, можно разделить его на два, найти радиус и воспользоваться предыдущей формулой. Но проще воспользоваться формулой S = πd² / 4.

Порядок расчета площади круга по формуле:

1. Для начала необходимо возвести диаметр в квадрат.
2. Затем умножить результат на π.
3. Полученное число разделить на четыре.
4. Записать результат в квадратных единицах.

Как рассчитать площадь круга через длину окружности

Если дана длина окружности, применяется формула S = L² / 4π.

Порядок расчета площади круга по формуле:

1. Для начала необходимо возвести длину окружности в квадрат.
2. Затем умножить 4 на π.
3. Квадрат длины окружности разделить на 4π.
4. Записать решение в квадратных единицах.

Примечание: формулу S = L² / 4π можно вывести из равенства L = 2πr. Сначала можно найти радиус r = L / 2π, а затем подставить его в формулу S = πr².

Как найти площадь круга на клетчатой бумаге

Если круг нарисован на клетчатой бумаге, площадь можно определить приблизительно:

1. Сначала посчитать количество клеток, полностью находящихся внутри фигуры.
2. Затем оценить объем неполных клеток, которые затрагивают окружность фигуры. Например, две половинки можно принять за одну целую. Чем мельче клетки, тем точнее результат.

Более надежный способ — определить радиус по клеткам и применить S = πr². Если от центра до края четыре клетки, а сторона клетки равна 1 см, радиус составляет 4 см. Площадь равна 16π см², или примерно 50,24 см².

Примеры решения задач на площадь круга

Площадь круга с радиусом 3 см

В задаче указано, что радиус равен трем сантиметрам. Необходимо вычислить площадь круга.

Дано: r = 3 см.

Используем формулу S = πr².

Площадь круга равна: S = 3,14 × 3² → 3,14 × 9 → 28,26 см².

Результат: 28,26 см², или 9π см².

Площадь круга с радиусом 5 см

В задаче указано, что расстояние от центра до окружности равно пяти сантиметрам. Необходимо рассчитать площадь круга.

Дано: r = 5 см.

Используем формулу S = πr².

Площадь круга равна: S = 3,14 × 5² → 3,14 × 25 → 78,5 см².

Результат: 78,5 см², или 25π см².

. Фото: Unsplash

Площадь круга с диаметром 6 см

В задаче указано, что диаметр круга равен шести сантиметрам. Необходимо найти площадь.

Дано: d = 6 см.

Используем формулу S = πd² / 4.

Площадь круга равна: S = 3,14 × 6² / 4 → 3,14 × 36 / 4 → 113,04 / 4 → 28,26 см².

Результат: 28,26 см².

Можно найти площадь другим способом через обнаружение радиуса из диаметра круга: r = d / 2. А затем применить формулу S = πr².

Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего

Отношение площадей двух любых кругов равно квадрату отношения их радиусов. Если радиус фигуры увеличить в несколько раз, то ее площадь вырастет в квадрат этого числа раз. Например, если радиус увеличить в три раза, площадь возрастет в девять раз.

Формула сравнения площадей кругов: S₁ / S₂ = r₁² / r₂²

Пусть радиус большого круга равен 20 см, а маленького — 10 см. Таким образом, отношение двух площадей кругов равно: S₁ / S₂ = 20² / 10² → 400 / 100 → 4.

Результат: площадь большого круга в четыре раза больше маленького.

Площадь круга, если длина окружности равна 12π см

В задаче указано, что протяженность окружности равна 12π сантиметрам. Необходимо вычислить площадь круга.

Дано: L = 12π см.

Используем формулу S = L² / 4π.

Можно прийти к этому же решению более простым путем — через вычисление радиуса из периметра окружности по формуле r = L / 2π.

Найдем радиус: r = L / 2π → 12π / 2π → 6 см.

Теперь вычислим по формуле S = πr².

Площадь круга равна: S = π × 6² → 3,14 × 6² → 113,04 см².

Результат: 113,04 см², или 36π см².

Частые ошибки при вычислении площади круга

Первая ошибка, из-за которой само понимание этой темы будет неверным, — путать круг с окружностью. Площадь есть у круга, а у окружности вычисляется длина.

Вторая и достаточно серьезная ошибка — не возводить радиус в квадрат. В формуле S = πr² значение r нужно умножить само на себя, а не на двойку.

Неверно: S = 3,14 × (3 × 2) → 3,14 × 6 → 18,86 см².

Верно: S = 3,14 × 3² → 3,14 × 9 → 28,26 см².

Третья — подставлять диаметр вместо радиуса. Если нужно использовать радиус, следует разделить диаметр пополам или изначально для вычисления площади круга использовать формулу S = πd² / 4.

Четвертая — забывать квадратные единицы при записи решения. Результат “28,26 см” неверен; “28,26 см²” — верный. Также все величины должны быть выражены в одинаковых единицах. Нельзя смешивать сантиметры и метры без предварительного перевода.

Пятая — округлять промежуточные результаты. Это только запутает при вычислении, так как сделает решение некорректным. Лучше округлить уже конечный результат, если того требует задание.

Например, в задаче указано, что радиус круга равен 7,1 сантиметра.

Дано: r = 7,1 см.

Используем формулу S = πr² для вычисления площади круга.

Неверно: S = 3,14 × 7,1² → 3,14 × 50, 41 → округление промежуточного результата для удобства → 3 × 50 → 150 см².

Верно: S = 3,14 × 7,1² → 3,14 × 50, 41 → 158,2874 → округляем до сотых → 158,29 см².

. Фото: Источник: magnific.com

Популярные вопросы про площадь круга